6.2 4 Intervalo de Confianza para una Proporción: Guía Completa y Fácil de Entender

¿Qué es un Intervalo de Confianza para una Proporción?

Un intervalo de confianza es un rango de valores que tiene una alta probabilidad de contener el verdadero valor de un parámetro de población, como una proporción. En este caso, un intervalo de confianza para una proporción estima el rango probable de la proporción de una población que posee una determinada característica.

Cómo Calcular un Intervalo de Confianza para una Proporción

El cálculo de un intervalo de confianza para una proporción implica los siguientes pasos:

1. Obtener una Estimación de la Proporción:

Realice una encuesta o recopile datos para obtener una estimación de la proporción de la muestra (p ′) que posee la característica.

2. Determinar el Nivel de Confianza:

Elija el nivel de confianza deseado, generalmente expresado como un porcentaje (por ejemplo, 95%). Esto determina el margen de error permitido.

3. Obtener el Valor Crítico:

Busque el valor crítico (Z ( a 2 )) en una tabla de distribución normal estándar correspondiente al nivel de confianza seleccionado.

4. Calcular el Margen de Error:

Utilice la siguiente fórmula para calcular el margen de error:

Margen de error = Z ( a 2 ) √{(p ′ q ′) / n}

donde q ′ es la probabilidad de fracaso (1 – p ′) y n es el tamaño de la muestra.

5. Construir el Intervalo de Confianza:

Sume y reste el margen de error a la estimación de la proporción de la muestra para obtener los límites inferior y superior del intervalo de confianza:

Intervalo de confianza = p ′ ± Margen de error

Ejemplo Práctico

Problema:

Una empresa encuestó a 1000 clientes y encontró que 750 habían comprado su producto. Se les pide que construyan un intervalo de confianza del 95% para la proporción de clientes que han comprado el producto.

Solución:

1. Estimación de la proporción: p ′ = 750/1000 = 0,75
2. Nivel de confianza: 95%
3. Valor crítico: Z ( 0,025 ) = 1,96 (de una tabla de distribución normal estándar)
4. Margen de error: 0,031
5. Intervalo de confianza: 0,75 ± 0,031 = (0,719, 0,781)

Interpretación:

Con un 95% de confianza, estimamos que entre el 71,9% y el 78,1% de los clientes de la empresa han comprado el producto.

Consideraciones Importantes

• La fórmula del intervalo de confianza es válida cuando la distribución subyacente se aproxima a una distribución normal.
• El tamaño de la muestra debe ser lo suficientemente grande para garantizar la normalidad aproximada.
• Un nivel de confianza más alto da como resultado un intervalo de confianza más amplio.
• Los intervalos de confianza no garantizan que el valor real de la población esté dentro del intervalo.
• Interprete los intervalos de confianza en el contexto de la situación específica.

Característica o Punto Clave	Detalles
Información Previa	Si está disponible, utilizar información previa puede reducir el tamaño muestral necesario.
Encuesta Piloto	Una encuesta piloto puede proporcionar una estimación inicial de la proporción y ayudar a refinar el cuestionario.
Situación Más Desfavorable	Suponer que la proporción estimada es 0,5 (p = q = 0,5) da como resultado el tamaño muestral más grande para el nivel de confianza y precisión deseados.
Fórmula del Tamaño Muestral	n = (Z^2 * p * q) / e^2
Tamaño del Puntaje Z	El puntaje Z corresponde al nivel de confianza deseado.
Proporción Estimada	Utilizar una proporción estimada si se dispone de información previa, o asumir 0,5 en la situación más desfavorable.
Precisión Deseada	Determina el margen de error o el ancho del intervalo de confianza.

Preguntas Frecuentes sobre Intervalos de Confianza para una Proporción

¿Qué es un intervalo de confianza para una proporción?

Es un rango de valores que tiene una alta probabilidad de contener el verdadero valor de una proporción de población, basado en datos de muestra.

¿Cómo se calcula un intervalo de confianza para una proporción?

Utilizando la fórmula: p = p ′ ± [ Z ( a 2 ) p ′ ( 1 – p ′ ) n ], donde p es la proporción de población, p ′ es la proporción de muestra, q ′ es 1 – p ′, n es el tamaño de la muestra, y Z ( a 2 ) es el valor crítico de la distribución normal correspondiente al nivel de confianza.

¿Qué factores afectan el ancho del intervalo de confianza?

El nivel de confianza y el tamaño de la muestra. Un mayor nivel de confianza o un tamaño de muestra más pequeño resultan en un intervalo más amplio.

¿Qué interpretación se le da a un intervalo de confianza?

El intervalo indica el rango dentro del cual es probable que se encuentre la proporción de población real, con el nivel de confianza especificado.

¿Cuáles son las limitaciones de los intervalos de confianza?

No garantizan que el valor real de la población esté dentro del intervalo. La aproximación a la distribución normal requiere que np ′ y nq ′ sean mayores que 5.

¿En qué situaciones se utilizan los intervalos de confianza para proporciones?

En encuestas, investigación médica, control de calidad y otras situaciones donde se busca estimar la proporción de una población que posee una determinada característica.