Función Acumulada para Variables Aleatorias Discretas: Un Análisis Detallado

Definición y Propiedades

Definición: La función de distribución acumulada (CDF) para una variable aleatoria discreta X es una función que proporciona la probabilidad de que X tome un valor menor o igual que un valor dado x. Está definida como:

F(x) = P(X ≤ x) = Σ P(X = i) para todo i ≤ x

donde P(X = i) es la función de masa de probabilidad de X.

Propiedades:

• Monótona no decreciente
• F(-∞) = 0 y F(∞) = 1
• P(X = x) = F(x) – F(x-1)

Representación Gráfica

La CDF se representa gráficamente como una función escalonada, donde cada escalón corresponde a un valor posible de X. El eje y representa la probabilidad acumulada y el eje x representa los valores de X.

Interpretación y Aplicaciones

Interpretación: La CDF indica la probabilidad de que X tome un valor menor o igual que un valor dado x.

Aplicaciones:

• Modelado de recuentos de eventos
• Análisis de datos binarios
• Evaluación de riesgos en seguros y finanzas

Ejemplo

Supongamos que X es una variable aleatoria discreta que representa el número de cabezas en tres lanzamientos de una moneda. La función de masa de probabilidad de X es:

P(X = k) = (1/2)^k (1/2)^3-k para k = 0, 1, 2, 3

La CDF de X se calcula como:

F(0) = 1/8
F(1) = 3/8
F(2) = 7/8
F(3) = 1

La función de distribución acumulada es una herramienta poderosa para analizar y modelar variables aleatorias discretas. Permite calcular probabilidades, cuantiles y otras medidas de interés, y tiene diversas aplicaciones en campos como la estadística, la probabilidad y las finanzas.

Distribución Acumulativa para Variables Discretas

Característica	Consejo	Punto Clave
Definición de CDF	Usa la suma de probabilidades de valores <= x	Probabilidad de X <= x
Propiedades de la CDF	Monótona, límites 0 y 1	No decreciente, suma a 1, P(X=x) = F(x) – F(x-1)
Interpretación Gráfica	Función escalonada con saltos en valores discretos	Eje y: probabilidades acumuladas, eje x: valores de X
Aplicaciones	Modelado de recuentos de eventos	Análisis de datos binarios, evaluación de riesgos
Ejemplo	Lanza una moneda 3 veces	CDF representa la probabilidad de cabezas en 0, 1, 2 o 3 lanzamientos

Preguntas frecuentes sobre la función de distribución acumulada (CDF) para variables aleatorias discretas

¿Qué es la CDF de una variable aleatoria discreta?

Una CDF es una función que proporciona la probabilidad de que una variable aleatoria discreta tome un valor menor o igual que un valor dado.

¿Cómo se calcula la CDF de una variable aleatoria discreta?

Para una variable aleatoria discreta X, su CDF F(x) se calcula sumando la función de masa de probabilidad P(X = i) para todos los valores de i menores o iguales que x.

¿Cuáles son las propiedades de la CDF?

La CDF es:
* Monótona no decreciente
* Tiene un límite inferior de 0 en -∞ y un límite superior de 1 en ∞
* La probabilidad de que X tome un valor específico x se puede calcular como P(X = x) = F(x) – F(x-1)

¿Cómo se interpreta gráficamente la CDF?

La CDF se representa gráficamente como una función escalonada, donde cada escalón corresponde a un posible valor de X. El eje y representa la probabilidad acumulada y el eje x representa los valores de X.

¿Cuáles son las aplicaciones de la CDF?

La CDF se utiliza en diversas aplicaciones, que incluyen:
* Modelado de recuentos de eventos
* Análisis de datos binarios
* Evaluación de riesgos